En effet, si l’on note y(t) le nombre de personnes atteintes par le virus au jour t, la variation dy de y(t) entre T et T+1 vérifie l’équation suivante:
dy=k*y(T)*(P-y(T))=ay(T)-by(T)^2 avec a=kP et b=-k
En effet l’augmentation du nombre de cas par jour (dv) est proportionnel au nombre de rencontres entre la population atteinte y(T) et la population saine P-y(T), P étant la population totale. Ce nombre de rencontres étant égal à y(T).(K-y(T))/2, on trouve facilement l’équation ci-dessus.
Si l’on cherche à résoudre cette équation (voir ici :
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28t%29%3Da*y%28t%29-b*y%28t%29%5E2&fbclid=IwAR0pW9HslYv0l5ppcn32H4FY-GHeBfyDCGSyrejk6iph0j259pLIoug1lBo), on peut démontrer que la fonction y(t) est de la forme suivante:
y(t) est donc effectivement très proche d’une exponentielle tant que la population cible n’est pas suffisamment touchée. Mais plus il y a de personnes touchées, plus la courbe ralentit et « plafonne » – c’est la fameuse « immunité collective », que l’on observe sur une courbe en S mais pas sur une courbe exponentielles…
